Función proposicional y cuantificadores...

En entradas anteriores vimos una introducción a lo que es la lógica proposicional y explicamos otros conceptos  útiles.

Resumiendo, habíamos definido una proposición como una frase que tenía una característica especial: tiene un valor de verdad (verdadero o falso, sí o no, correcto o incorrecto, etc.). Como es de imaginar, no todas las frases son proposiciones y dentro de ésas que no lo son encontramos las cuasi-proposiciones.

Estas cuasi-proposiciones son frases que enunciadas de la manera en que lo están no son proposiciones, pero que si las cuantificamos o ejemplificamos pueden transformarse en tales.

Un claro ejemplo son expresiones matemáticas u otras que usamos en programación donde hay variables, donde la expresión en sí no es una proposición pero sí lo es al asignarle un valor.

Por ejemplo: 

• X >= 5   No es una proposición ya que X puede ser cualquier valor.

• 7 >= 5   Ahora asignándole un valor cualquiera a X (7 en este caso) podemos decir su valor de verdad y, por lo tanto, pasa a ser una proposición.

*NOTA: En estas expresiones, al igual que nos explicaban en la escuela primaria, tenemos un sujeto y un predicado. En el ejemplo X>=5 , X es el sujeto y el resto de la expresión el predicado.

  

Función proposicional: Es toda expresión que contiene una o más variables que al ser sustituidas por elementos del universo en que estamos trabajando, forman una proposición. 

Esta función no es una proposición en sí, por lo que no tiene valor de verdad, pero si asignamos un valor a su variable independiente (particularizamos para cierto X), la expresión que obtenemos sí lo tiene.

Escribiremos esta función de la forma P(x) donde P es nuestra función proposicional, x nuestro sujeto y luego tendremos nuestra cuasi-proposición.

Por ejemplo: P(x): x>=5 , donde si particularizamos para un cierto x, P(x) da lugar a una proposición.

Cuantificadores

A través de cuantificadores, también podemos conseguir una proposición en base a una función proposicional, generalizando para un conjunto de valores del universo en el que estamos trabajando.

Cuantificador universal: Lo denotamos con el símbolo ∀ y se lee "para todo". Este cuantificador indica que para todos los elementos del universo en cuestión se verifica nuestra función proposicional.

A través de este cuantificador también podemos expresar que para "ninguno" de los elementos del universo se verifica.

•  ∀x ∈ R, P(x)   (Para todo x perteneciente a R se verifica P(x))

Cuantificador existencial: Lo denotamos con el símbolo ∃ y se lee "existe". Este cuantificador indica que existe aunque sea un elemento x perteneciente al universo que verifica nuestra función proposicional.

• ∃ x ∈ R: P(x)  (Existe x perteneciente a R que verifica P(x))

Negación de expresiones con cuantificadores:

Para negar expresiones con cuantificadores negamos el cuantificador (la negación de ∀  es ∃ y la de ∃ es ∀)y luego la función proposicional.

Por lo que la negación del cuantificador universal es la afirmación del cuantificador existencial respecto de la proposición negada y viceversa.

Es decir:

• La negación de ∀x, P(x)  es ∃ x : ¬(P(x))
• Mientras que la de ∃ x : P(x) es ∀x, ¬(P(x))